Selasa, 11 Januari 2011

PERKALIAN DAN PEMBAGIAN


1.      PERKALIAN
Pengertian
Perkalian merupakan penjumlahan berulang

Sifat-sifat perkalian
a.      Perkalian bilangan dengan angka satu.
Semua bilangan jika dikalikan satu hasilnya sama dengan bilangan itu sendiri.
Contoh:
      5 X 1 = 5
      4 X 1 = 4

b.      Perkalian  bilangan dengan angka nol.
Semua bilangan  jika dikalikan nol hasilnya adalah nol.
Contoh:
      3 X 0 = 0
      0 X 6 = 0

2.      PEMBAGIAN
Pengertian
Pembagian merupakan penguranganyang berulang untuk bilangan yang sama. Pembagian juga merupakan kebalikan dari perkalian.

Sifat-sifat pembagian
a.      Membagi dengan bilangan satu
Bilangan dibagi satu hasilnya bilangan itu sendiri.
Contoh:
      5 : 1 = 5
      8 : 1 = 8

b.      Membagi bilangan dengan bilangan itu sendiri
Bilangan dibagi bilangan itu sendiri hasilnya adalah satu.
Contoh:
      7 : 7 = 1
      4 : 4 = 1

EKSPONEN



a5 = a . a . a . a . a
an = a . a . a……a   ] Sebanyak n
Dimana  a = basis ( bilangan pokok )
               n = eksponensial ( perpangkatan )
Sifat
1.      am . an = am+n
2.      am : an = am-n
3.      (am)n = amn
4.      (a . b )m = am . bm
5.      (a : b )m = am : bm
6.      ao = 1
7.      a/b-1 = b/a
Persamaan Eksponenen
  1. Pf(x) = pg(x) maka f(x) = g(x)
  2. A[ Pf(x) ]2 + b[Pf(x) ] +  C = 0
Missal: Pf(x) = Y didapat
PK: ay2 + by + c = 0
Cirri-ciri bentuk eksponen yang dapat diarahkan ke persamaan kuadrat, biasanya dijumpai unsure:
P2x dan Px
Px dan P-x

PELUANG


Konsep Perkalian
Kejadian I terjadi dengan m cara
Kajadian II terjadi dengan n cara
Maka kejadian I dan II ( berurutan ) terjadi : ( m . n ) cara

Permutasi dan kombinasi
Permutasi menyatakan banyaknya penyusunan obyek-obyek dengan memperhatikan letak / urutan.
Kombinasi menyatakan banyaknya penyusunan obyek-obyek dengan tidak memperhatikan letak / urutan.
Permutasi
kombinasi
Dengan memperhatikan letak / urutan
Tanpa memperhatikan letak / urutan
AB BA
( 2 kejadian berbeda )
AB = BA
( 1 kejadian )
Contoh:
Bilangan 12 dan 21
Contoh:
{ a,b } dan { b,a }
Rumus:
nPr =
Rumus:
nCr =
Dengan: n > r dimana n = seluruh unsure dan r = banyaknya unsure yang ditanyakan.
·         Permutasi n Unsur: n!
Permutasi dengan menggunakan seluruh unsure.
·         Permutasi dengan k unsure sama: 
Dimana k,m dan b menyatakan banyaknya unsure yang sama.
·         Permutasi siklus: ( n – 1 )!
Permutasi melingkar, dimana salah satu unsure merupakan unsure tetap 9 acuan )

PROBABILITAS ( PELUANG )
P(A) =   

Konsep:  
                       

( 0 P(A) 1 )
S = ruang sampel : seluruh kejadian yang mungkin terjadi.
A = even : kejadian yang diharapkan terjadi.

Rabu, 29 Desember 2010

Bilangan Real

Berbagai Sistem Bilangan
Sistem matematika adalah himpunan unsur-unsur dengan operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang telah kita kenal antara lain: ,  dan logaritma. Sedangkan sebagian himpunan dalam aljabar adalah himpunan-himpunan bilangan.

Himpunan-himpunan bilangan secara skematis terlihat seperti pada bagan berikut:
Gambar 1
Pengertian Bilangan Real ()
Apakah bilangan real itu dan apa sifat-sifatnya? Untuk menjawabnya, kita mulai dengan beberapa sistem bilangan yang sederhana berikut ini.

Bilangan-bilangan bulat dan rasional
Diantara sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan-bilangan asli (= Natural),
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …
Dengan bilangan ini kita dapat menghitung: buku-buku kita, teman-teman kita, uang kita, dan lain sebagainya. Jika kita gandengkan negatifnya dan nol, kita akan peroleh bilangan-bilangan bulat (= dari bahasa Jerman, Zahlen):
…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
Bila kita mencoba mengukur panjang, berat benda, atau tegangan listrik, bilangan-bilangan bulat tidak akan memadai. Bilangan ini terlalu kurang untuk memeberikan ketelitian yang cukup dalam sebuah pengukuran. Kita dituntut untuk juga mempertimbangkan hasil bagi (rasio) dari bilangan-bilangan bulat, yaitu bilangan-bilangan seperti:

Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk , dimana m dan n adalah bilangan bulat dan , disebut bilangan-bilangan rasional (= Quotient ).
Apakah bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang? Fakta yang mengejutkan ini ditemukan pertama kali oleh orang Yunani kuno beberapa abad sebelum masehi. Mereka memperlihatkan bahwa meskipun merupakan panjang sisi miring sebuah segi tiga siku-siku dengan sisi 1 , bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi dua bilangan bulat. Jadi adalah suatu bilangan tak rasional (irasional). Demikian juga .
Jika kita belum terbiasa untuk bisa membedakan bilangan rasional dan bilangan irasional secara langsung, maka ada satu ciri khusus yang yang bisa kita jadikan pedoman untuk membedakan keduanya.
Sekarang, coba periksa dengan menggunakan kalkulator nilai dari .
Akan lebih bagus jika kalkulator yang digunakan memiliki digit lebih banyak dibanding kalkulator biasa, atau Anda bisa menggunakan kalkulator yang tersedia di dalam setiap program windows di komputer Anda, yang ketelitiannya bisa mencapai 34 digit.
Setelah diperiksa, diperoleh sebagai berikut:




Apabila kita perhatikan, dua bilangan yang pertama yaitu dan memiliki bentuk desimal yang bilangan-bilangannya berulang dengan urutan tertentu. Sedangkan dua bilangan terakhir yaitu dan (pi) bentuk bilangan desimalnya tidak berulang (sembarang).
Coba periksa juga bilangan-bilangan lainnya, apakah termasuk bilangan rasional ataukah irasional!
Bilangan-bilangan real
Sekumpulan bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol kita namakan bilangan-bilangan real. Atau dengan kata lain, bilangan real adalah bilangan yang dapat berkoresponden satu-satu dengan sebuah titik pada garis bilangan. Pada garis bilangan tersebut terdapat titik asal yang diberi lambang 0 (nol) sebagai titik awal untuk mengukur jarak ke arah kanan atau kiri. Setiap titik pada garis bilangan mempunyai lambang yang tunggal, disebut koordinat titik, dan garis bilangan yang dihasilkan diacu sebagai garis real. Perhatikan gambar!

Kedudukan bilangan real dalam sistem bilangan dapat kita lihat dalam diagram Gambar 1.
Pertanyaan
Dengan mengetahui anggota dari masing-masing himpunan bilangan yang termasuk kelompok bilangan real, bagaimanakah hubungan masing-masing himpunan bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks jika kita gambarkan dalam diagram venn?
Operasi pada Bilangan Real
Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian
a) Operasi penjumlahan
clip_image042
Contoh:
1. 4 + 6 = 10
2. 4 + (-6) = -2
3. -4 + 6 = 2
4. -4 + (-6) = -10
b) Operasi pengurangan

Contoh:
1. 6 - 4 = 2
2. 6 - (-4) = 6 + 4 = 10
3. -6 – 4 = -6 + (-4) = -10 $

Rumus Bangun Datar - Matematika

Rumus Bujur Sangkar
Bujur sangkar adalah bangun datar yang memiliki empat buah sisi sama panjang
- Keliling : Panjang salah satu sisi dikali 4 (4S) (AB + BC + CD + DA)
- Luas : Sisi dikali sisi (S x S)
Rumus Persegi Panjang
Persegi panjang adalah bangun datar mirip bujur sangkar namun dua sisi yang berhadapan lebih pendek atau lebih panjang dari
dua sisi yang lain. Dua sisi yang panjang disebut panjang, sedangkan yang pendek disebut lebar.
- Keliling : Panjang tambah lebar kali 2 ((p+l)x2) (AB + BC + CD + DA)
- Luas : Panjang dikali lebar (pl)
Rumus Segitiga
- Keliling : Sisi pertama + sisi kedua + sisi ketiga (AB + BC + CA)
- Luas : Panjang alas dikali pangjang tinggi dibagi dua (a x t / 2)
Rumus Lingkaran
- Keliling : diameter dikali phi (d x phi) atau phi dikali 2 jari-jari (phi x (r + r)
- Luas : phi dikali jari-jari dikali jari-jari (phi x r x r)
- phi = 22/7 = 3,14
Rumus Jajar Genjang atau Jajaran Genjang
- Keliling : Penjumlahan dari keempat sisi yang ada (AB + BC + CD + DA)
- Luas : alas dikali tinggi (a x t)
Rumus Belah Ketupat
- Keliling : Penjumlahan dari keempat sisi yang ada (AB + BC + CD + DA)
- Luas : alas dikali panjang diagonal dibagi 2 (a x diagonal / 2)
- Diagonal : Garis tengah dua sisi berlawanan
Rumus Trapesium
- Keliling : Penjumlahan dari keempat sisi yang ada (AB + BC + CD + DA)
- Luas : Jumlah sisi sejajar dikali tinggi dibagi 2 ((AB + CD) / 2)